Phép cộng vectơ bằng quy tắc hình bình hành (trái) và tam giác (phải)

Phép cộng hai vectơ

Quy tắc

Phép cộng hai vectơ: tổng của hai vectơ A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} và C D → {\displaystyle {\overrightarrow {CD}}} là một vectơ được xác định theo quy tắc:

• Quy tắc 3 điểm: di chuyển vectơ C D → {\displaystyle {\overrightarrow {CD}}} sao cho điểm đầu C của C D → {\displaystyle {\overrightarrow {CD}}} trùng với điểm cuối B của A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} : C ≡ B {\displaystyle C\equiv B} . Khi đó vectơ A D → {\displaystyle {\overrightarrow {AD}}} có điểm gốc đặt tại điểm A, điểm cuối đặt tại D, chiều từ A đến D là vectơ tổng
• Quy tắc hình bình hành: di chuyển vectơ C D → {\displaystyle {\overrightarrow {CD}}} đến vị trí trùng điểm gốc A của vectơ A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} . Khi đó vectơ tổng có gốc đặt tại điểm A, có điểm cuối đặt tại góc đối diện trong hình bình hành tạo ra bởi hai vectơ thành phần A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} và C D → {\displaystyle {\overrightarrow {CD}}} , chiều từ gốc A đến điểm cuối

Tính chất

• Tính chất giao hoán

a → + b → = b → + a → {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}

• Tính chất kết hợp

( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) {\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})}

• Tính chất của vectơ-không a → + 0 → = 0 → + a → = a → {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {0}}+{\vec {a}}={\vec {a}}}
• Với 3 điểm A, B, C, ta có: A B → + B C → = A C → {\displaystyle {\vec {AB}}+{\vec {BC}}={\vec {AC}}}
• I là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ A I → + B I → = 0 → {\displaystyle \Leftrightarrow {\vec {AI}}+{\vec {BI}}={\vec {0}}}
• G là trọng tâm △ A B C {\displaystyle \vartriangle ABC} ⇔ G A → + G B → + G C → = 0 → {\displaystyle \Leftrightarrow {\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}={\vec {0}}}

Hiệu hai vectơ

Ta có:  A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} - C D → {\displaystyle {\overrightarrow {CD}}} = A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} +(- C D → {\displaystyle {\overrightarrow {CD}}} )=. A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} + D C → {\displaystyle {\overrightarrow {DC}}}

Quy tắc trừ: Với 3 điểm A, B, C, ta có A B → − A C → = C B → = C A → − B A → {\displaystyle {\vec {AB}}-{\vec {AC}}={\vec {CB}}={\vec {CA}}-{\vec {BA}}}

Tích vectơ với một số

Quy tắc

• Phép nhân vectơ với một số: tích của vectơ a → {\displaystyle {\vec {a}}} với một số thực r ∈ R {\displaystyle r\in \mathbb {R} } là một vectơ có gốc và phương trùng với gốc và phương của a → {\displaystyle {\vec {a}}} , cùng chiều nếu r >   0 {\displaystyle r>\ 0} và ngược chiều nếu r <   0 {\displaystyle r<\ 0} , có độ dài bằng | r | | a → | {\displaystyle |r||{\vec {a}}|}

Tính chất

• Với hai vectơ bất kì, với mọi số h và k, ta có
  • k ( a → + b → ) = k a → + k b → {\displaystyle k({\vec {a}}+{\vec {b}})=k{\vec {a}}+k{\vec {b}}} (
  • ( h + k ) a → = h a → + k a → {\displaystyle (h+k){\vec {a}}=h{\vec {a}}+k{\vec {a}}}
  • h ( k a → ) = ( h k ) a → {\displaystyle h(k{\vec {a}})=(hk){\vec {a}}}
  • 1. a → = a → , ( − 1 ) . a → = − a → {\displaystyle 1.{\vec {a}}={\vec {a}},(-1).{\vec {a}}=-{\vec {a}}}

Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

• Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có M A → + M B → = 2 M K → {\displaystyle {\vec {MA}}+{\vec {MB}}=2{\vec {MK}}}
• Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có M A → + M B → + M C → = 3 M G → {\displaystyle {\vec {MA}}+{\vec {MB}}+{\vec {MC}}=3{\vec {MG}}}

Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Điều kiện cần để hai vectơ a → {\displaystyle {\vec {a}}} và b → {\displaystyle {\vec {b}}} ( b → ≠ 0 ) {\displaystyle ({\vec {b}}\neq 0)} cùng phương là có một số k để a → = k b → {\displaystyle {\vec {a}}=k{\vec {b}}}

Nếu a → {\displaystyle {\vec {a}}} và b → {\displaystyle {\vec {b}}} cùng hướng thì k = | a → b → | {\displaystyle k=\left\vert {\frac {\vec {a}}{\vec {b}}}\right\vert }

Nếu a → {\displaystyle {\vec {a}}} và b → {\displaystyle {\vec {b}}} ngược hướng thì k = − | a → b → | {\displaystyle k=-\left\vert {\frac {\vec {a}}{\vec {b}}}\right\vert }

Tích vô hướng của hai vectơ

Quy tắc

• Tích vô hướng () của hai vectơ a và b nhân với cosin của góc α giữa hai vectơ đó

a → ⋅ b → = | a → | | b → | cos ⁡ α {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \alpha }

Các tính chất của tích vô hướng

• Tính chất giao hoán a → . b → = b → . a → {\displaystyle {\vec {a}}.{\vec {b}}={\vec {b}}.{\vec {a}}}
• Tính chất phân phối a → . ( b → + c → ) = a → . b → + a → . c → {\displaystyle {\vec {a}}.({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}.{\vec {b}}+{\vec {a}}.{\vec {c}}}
• ( k a → ) . b → = k ( a → . b → ) = a → ( k b → ) {\displaystyle (k{\vec {a}}).{\vec {b}}=k({\vec {a}}.{\vec {b}})={\vec {a}}(k{\vec {b}})}
• a → 2 = | a → | 2 {\displaystyle {\vec {a}}^{2}=\left\vert {\vec {a}}\right\vert ^{2}}
• a → 2 ≥ 0 , a → 2 = 0 ⇔ a → = 0 → {\displaystyle {\vec {a}}^{2}\geq 0,{\vec {a}}^{2}=0\Leftrightarrow {\vec {a}}={\vec {0}}}
• 2 vecto vuông góc có tích vô hướng bằng 0

Một số tính chất mở rộng

• ( a → + b → ) 2 = a → 2 + 2 a → b → + b → 2 {\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})^{2}={\vec {a}}^{2}+2{\vec {a}}{\vec {b}}+{\vec {b}}^{2}}
• ( a → − b → ) 2 = a → 2 − 2 a → b → + b → 2 {\displaystyle ({\vec {a}}-{\vec {b}})^{2}={\vec {a}}^{2}-2{\vec {a}}{\vec {b}}+{\vec {b}}^{2}}
• ( a → + b → ) . ( a → − b → ) = a → 2 − b → 2 {\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}}).({\vec {a}}-{\vec {b}})={\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}}

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong mặt phẳng: a → . b → = a 1 . b 1 + a 2 . b 2 {\displaystyle {\vec {a}}.{\vec {b}}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}}

Trong không gian 3 chiều: a → . b → = a 1 . b 1 + a 2 . b 2 + a 3 . b 3 {\displaystyle {\vec {a}}.{\vec {b}}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3}}